TIRO VERTICAL: CAIDA LIBRE TOTALMENTE VERTICAL

El movimiento del cuerpo en caída libre es vertical con velocidad creciente (aproximadamente movimiento uniformemente acelerado con aceleración g) (aproximadamente porque la aceleración aumenta cuando el objeto disminuye en altura, en la mayoría de los casos la variación es despreciable). La ecuación de movimiento se puede escribir en términos la altura y:

(1) $-mg + f = ma_y \,$

donde:

$a_y, v_y\;$ , son la aceleración y la velocidad verticales.

$f\;$ , es la fuerza de rozamiento fluidodinámico (que aumenta con la velocidad).

Si, en primera aproximación, se desprecia la fuerza de rozamiento, cosa que puede hacerse para caídas desde pequeñas alturas de cuerpos relativamente compactos, en las que se alcanzan velocidades moderadas, la solución de la ecuación diferencial (1) para las velocidades y la altura vienen dada por:

$\begin{matrix} v_y(t)= v_0 - gt \\ y(t) = h_0 + v_0t -\frac{1}{2}gt^2 \end{matrix}$

donde v₀ es la velocidad inicial, para una caída desde el reposo v₀ = 0 y h₀ es la altura inicial de caída.

Para grandes alturas u objetos de gran superficie (una pluma, un paracaídas) es necesario tener en cuenta la resistencia fluidodinámica que suele ser modelizada como una fuerza proporcional a la velocidad, siendo la constante de proporcionalidad el llamado rozamiento aerodinámico k_w:

(2) $-mg - k_wv_y = ma_y \,$

En este caso la variación con el tiempo de la velocidad y el espacio recorrido vienen dados por la solución de la ecuación diferencial (2):

$\begin{cases} v_y = v_0e^{-k_wt/m} + \cfrac{mg}{k_w}(e^{-k_wt/m}-1) \\ y = h_0 - \cfrac{mgt}{k_w}+m\left(\cfrac{mg+k_wv_0}{k_w^2}\right)(e^{-k_wt/m}-1) \end{cases}$

Nótese que en este caso existe una velocidad límite dada por el rozamiento aerodinámico y la masa del cuerpo que cae:

$v_\infty = \lim_{t\to \infty} v_y(t) = -\frac{mg}{k_w}$

Un análisis más cuidadoso de la fricción de un fluido revelaría que a grandes velocidades el flujo alrededor de un objeto no puede considerarse laminar, sino turbulento y se producen remolinos alrededor del objeto que cae de tal manera que la fuerza de fricción se vuelve proporcional al cuadrado de la velocidad:

(3) $ma_y = m\frac{d^2y}{dt^2} = -mg - \epsilon\frac{C_d}{2}\rho A_tv_y^2$

Donde:

$C_d\;$ , es el coeficiente aerodinámico de resistencia al avance, que sólo depende de la forma del cuerpo.

$A_t\;$ , es el área transversal a la dirección del movimiento.

$\rho\;$ , es la densidad del fluido.

$\epsilon = sgn(v_y)\;$ , es el signo de la velocidad.

La velocidad límite puede calcularse fácilmente poniendo igual a cero la aceleración en la ecuación (3):

$v_\infty = \sqrt{\frac{2mg}{C_d\rho A_t}}$

La solución analítica de la ecuación diferencial (3) depende del signo relativo de la fuerza de rozamiento y el peso por lo que la solución analítica es diferente para un cuerpo que sube o para uno que cae. La solución de velocidades para ambos casos es:

$\begin{cases} v_y(t)= \sqrt{\cfrac{g}{\alpha}} \tan\left(-t\sqrt{{\alpha}{g}} +\arctan\left(v_0\sqrt{\cfrac{\alpha}{g}}\right) \right) & v_y(t) > 0\\ v_y(t)= \sqrt{\cfrac{g}{\alpha}} \tanh\left(-t\sqrt{{\alpha}{g}} -\mbox{arctanh}\left(v_0\sqrt{\cfrac{\alpha}{g}}\right) \right) & v_y(t) \le 0 \end{cases}$

Donde: $\alpha = C_d\rho A_t/2m\;$ .

Si se integran las ecuaciones anteriores para el caso de caída libre desde una altura $h_0$ y velocidad inicial nula y para el caso de lanzamiento vertical desde una altura nula con una velocidad inicial $v_0$ se obtienen los siguientes resultados para la altura del cuerpo:

Caída libre ( $v_0=0$ y $y(0)=h_0$ ):

$y(t)=h_0-\cfrac{1}{{\alpha}}\ln\left[\cosh\left(-t\sqrt{{\alpha}{g}}\right) \right]$

El tiempo transcurrido en la caída desde la altura $y=h_0$ hasta la altura $y=0$ puede obtenerse al reordenar la ecuación anterior:

$t(0)-t(h_0)=\cfrac{1}{\sqrt{{\alpha}{g}}}\mbox{arccosh}\left(e^{{\alpha}h_0}\right)$

Lanzamiento vertical ( $v_0=v_0$ y $y(0)=0$ ):

$y(t)=\cfrac{1}{{\alpha}}\ln\left[\cfrac{\cos\left[-t\sqrt{{\alpha}{g}}+\arctan\left(v_0\sqrt{\cfrac{\alpha}{g}}\right)\right]}{\cos\left[\mbox{arctan}\left(v_0\sqrt{\cfrac{\alpha}{g}}\right)\right]} \right]$

Si la altura $h_0$ es aquella en que la velocidad vertical se hace cero, entonces el tiempo transcurrido desde el lanzamiento hasta el instante en que se alcanza la altura $h_0$ puede calcularse como:

$t(h_0)-t(0)=\cfrac{1}{\sqrt{{\alpha}g}}\mbox{arctan}\left(v_0\sqrt{\cfrac{\alpha}{g}}\right)=\cfrac{1}{\sqrt{{\alpha}g}}\mbox{arccos}\left(e^{-{\alpha}h_0}\right)$

Se puede demostrar que el tiempo que tarda un cuerpo en caer desde una altura $h_0$ hasta el suelo a través del aire es mayor que el que tarda el mismo cuerpo en alcanzar la alura máxima de $h_0$ si es lanzado desde el suelo. Para ello basta con probar la desigualdad siguiente:

$\mbox{arccosh}\left(e^{{\alpha}h_0}\right)>\mbox{arccos}\left(e^{-{\alpha}h_0}\right)$

$\forall \alpha, h_0 > 0$

sabiendo que $\mbox{arccosh}\left(e^{{\alpha}h_0}\right)\in\left[1,+\infty\right)$ y que $\mbox{arccos}\left(e^{-{\alpha}h_0}\right)\in\left[0,\cfrac{\pi}{2}\right]$

TIRO VERTICAL

CAIDA LIBRE TOTALMENTE VERTICAL

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